Vai babilonieši pirmie atklāja un izmantoja trigonometriju?

"Daudz senāki," "daudz attīstītāki" – šie un citi raksturojumi aizvien biežāk parādās pēdējā laika ziņojumos par jaunākajiem arheologu un vēsturnieku atklājumiem. Šķiet, ka pašlaik notiek paradigmu maiņa. Daudzi vecie uzskati būs jāpārskata. Tas ir normāls un dabīgs zinātnes attīstības process, kad jauni atklājumi un atradumi spiež atteikties no vecām teorijām, ja tās nesaskan ar jaunatklāto realitāti.

Šoreiz jājautā, vai Jaundienvidvelsas universitātes (Sidneja, Austrālija) zinātnieku Dr.Daniela Mensfīlda (Daniel Mansfield) un asociētā profesora Normena Vildbergera (Norman Wildberger) veiktais pētījums liks matemātiķiem un zinātnes vēsturniekiem pārrakstīt vēl vienu lappusi matemātikas vēsturē, šoreiz runājot par trigonometrijas pirmsākumiem?

Atšifrējot 3700 gadus vecu babiloniešu plāksnīti, divi austrāliešu matemātiķi secināja, ka tā satur pasaulē vecāko un precīzāko trigonometrisko tabulu, kuru babilonieši izmantojušo piļu, tempļu un kanālu būvju aprēķiniem.

Izrādās, ka babiloniešu matemātiķi, izgudrojot trigonometriju – mācību par trīsstūriem, seno grieķu matemātiķus apsteiguši par vairāk nekā 1000 gadiem, ziņo pētījuma autori. Jaunais pētījums ir atklājis seno babiloniešu matemātikas izsmalcinātību, kas līdz šai dienai bija apslēpta. Tomēr ne visi zinātnieki steidzas piekrist jaunā, žurnālā “Historia Mathematica” publicētā pētījuma sensacionālajiem secinājumiem. 

Vecbabilonijas valsts

III g.tk.pmē. beigās semītiem piederošās amorītu ciltis lielā skaitā ienāca Divupē, sekmējot Ūras III dinastijas lielvalsts sagrāvi. Sajaukušies ar akādiešiem, amorīti netālu no Akādas nodibināja Bābeli, kura gandrīz divus gadu tūkstošus bija viens no galvenajiem seno civilizāciju centriem un viena no pasaules diženākajām pilsētām.

XIX gs.pmē. beigās kāds amorītu vadonis aizsāka pirmo Babilonas ķēniņu dinastiju, kura radīja Vecbabilonijas valsti. Tās izcilākais valdnieks bija ļoti talantīgais Hamuraps (1792.–1750.g.pmē.), kurš, izmantojot gan militārus līdzekļus, gan diplomātiju, pakļāva Šumeru, Akādu un citas kaimiņvalstis, izveidojot lielvalsti, kas kļuva par nozīmīgāko varas centru Priekšāzijā.

Babilonijā izveidojās kopīgā šumeru-akadiešu-amorītu kultūra. Akādiešu valoda kļuva par valsts valodu, bet šumeru valodu izmantoja reliģijā, kultā un ceremonijās.

Šajā laikā pilnveidojās šumeru rakstība (ķīlu raksts), kas izplatījās visā Divupē.

Amorītu dievs, Bābeles pilsētas aizgādnis Marduks kļuva par visas valsts galveno dievu.

Hamuraps vēsturē iegājis kā pirmais likumdevējs pasaulē. Taisnības labad gan jāpiebilst, ka likumu krājumi eksistēja jau pirms Hamurapa, piemēram, Isinas ķēniņienes likumi, Ūras III dinastijas ķēniņa Šulgas likumi u.c. Taču Hamurapa nopelns ir tas, ka viņš lokālas tiesības un priekšstatus apkopoja vienā, visiem saistošā, no 282 pantiem sastāvošā, likumu krājumā, kas ir pirmais tāds zināmais pasaulē. Hamurapa kodekss bija spēkā arī vēl tad, kad babiloniešu valsts bija jau sen nopostīta.

Hamurapa laikā Divupe tika veikti plaši irigācijas darbi. Kādu kanālu pat nosauca par “Hamurapa-pārpilnība.”

Pēc Hamurapa Vecbabilonijas valsts sāka vājināties un to atkal apdraudēja ārējie ienaidnieki. Vecbabilonijas valsts laikmets beidza pastāvēt XVI gs.pmē., kad varu ieguva kasītu dinastija. 

Arhitektūras un mākslas uzplaukums

Hamurapa laikā Bābelē tika uzceltas daudzas brīnišķīgas pilis un tempļi. Taču no tā maz kas saglabājies.

Babiloniešu zinātnes uzplaukums

Šajā laikā uzplauka arī dažādas zinātņu nozares – astronomija, matemātika un medicīna. Tomēr tās joprojām saglabāja saistību ar maģiju un mitoloģisko pasaules uzskatu.

Babiloniešu matemātika

Babiloniešu matemātikas pamatā bija šumeru sešdesmitnieku skaitīšanas sistēma, kuru akādieši bija kombinējuši ar decimālo sistēmu. Protams, tas radīja zināmas problēmas. Taču babiloniešu matemātiķi, izmantojot skaitļu tabulas, pārvarēja šīs grūtības un jau Hamurapa laikā savos aprēķinos sasniedza tādu precizitāti, kādu senie grieķi nesasniedza pat vēl pēc 2000 gadiem.

Ar šo tabulu palīdzību babiloniešu matemātiķi ieguva apbrīnojami lielus skaitļus. Piemēram, Kujundžikas pakalnā atrastajā plāksnē ir matemātiska rinda, kuras rezultāts mūsdienu skaitīšanas sistēmā ir izteikts kā skaitlis 195 955 200 000 000. Grieķiem, kuri astronomiju un matemātiku padarīja par zinātni, pat 10 000 bija neaptverami milzīgs skaitlis.

Plimptona plāksnīte

XX gs. sākuma amerikāņu diplomāts, amatierarheologs un senlietu tirgotājs Edgars Banks, kura personība ņemta par pamatu, veidojot piedzīvojumu filmas galvenā varoņa Indiānas Džonsa tēlu, Irākas dienvidos, iespējams, seno šumeru pilsētas Larsas drupās, atrada māla plāksnīti, kuras saturs ne tikai sniedz ieskatu seno babiloniešu matemātikā, bet, iespējams, liks pārrakstīt matemātikas vēstures grāmatas. 1922.gadā plāksnīti par 10 dolāriem no Banka nopirka amerikāņu filantrops, Ņujorkas izdevējs Džordžs Arturs Plimptons (Georg Arthur Plimpton). Pirms savas nāves Plimptons plāksnīti kopā ar pārējo savu kolekciju novēlēja Kolumbijas universitātei.

Par Plimpton322 dēvēta māla plāksnīte, kas pašlaik glabājas Kolumbijas universitātes reto grāmatu un rokrakstu bibliotēkā, ir 12,7 cm gara un 8,8 cm plata. Tās kreisā mala, pēc visa spriežot, ir nolūzusi.

Uz tās piecpadsmit rindās un četrās kolonnās ķīļrakstā ievilkti seksagezimāli skaitļi (skaitļi, kuru pamatā ir 60), no kuriem daži ir diezgan lieli.

Ņemot vērā to, ka plāksnes kreisā mala ir nolūzusi, kā arī atsaucoties uz iepriekšējiem pētījumiem, austrāliešu zinātnieki izsaka pieņēmumu, ka sākotnēji uz tās bija 6 kolonnas un 38 rindas.

Salīdzinot tās rakstības stilu ar citiem Vecbabilonijas laika tekstiem, Plimptona plāksnīte datēta ar laika periodu starp 1822.–1762.g.pmē., tas ir apmēram ap to laiku, kad valdīja izcilais babiloniešu valdnieks Hamuraps.

Plāksnīte matemātiķiem bija mīkla vairāk nekā 70 gadus, kopš viņi saprata, ka tā satur tā sauktos Pitagora trijniekus, sacīja Mensfīlds.

Pitagora trijnieki

Vienai kolonai ir numurētas rindas no 1 līdz 15.

Taču vēl interesantākas ir citas trīs kolonnas. 1945.gadā austriešu matemātiķi Oto Noigebauers (Otto E.Neugebauer) un Ābrams Šahs (Abraham J.Sachs), kuri izpētīja Plimptona plāksnīti, secināja, ka šīs trīs kolonnas būtībā satur Pitagora trijniekus – naturālu skaitļu komplektus vai naturālus skaitļus, kas atbilst vienādojumam a2 + b2 = c2

Šis vienādojums apraksta visas fundamentālās taisnleņķa trīsstūra īpašības – tā garākās malas jeb hipotenūzas kvadrāts ir vienāds ar divu īsāko malu (katešu) kvadrātu summu.

Tas pats par sevi ir interesanti, ņemot vēra, ka Pitagors, kura vārdā skaitļi nosaukti, piedzima tikai 1000 gadus vēlāk.

Tas, kāpēc babilonieši kompilēja Pitagora trijniekus un tos rakstīja uz leju, ilgi bija matemātiķu strīdus jautājums. Viena no interpretācijām ir tāda, ka tas palīdzēja skolotājam radīt uzdevumus un pēc tam arī pārbaudīt skolnieku risinājumus.

Divu austrāliešu matemātiķu veikts pētījums liecina, ka P322 ir senākā trigonometriskā tabula

Dr.Mensfīlds par Plimptona plāksnīti uzzināja, meklējot senās matemātikas uzdevumus saviem pirmā kursa studentiem. Pēc tam viņš kopā ar savu kolēģi Vildbergeru nolēma pētīt seno babiloniešu matemātiku un plāksnītes satura dažādas matemātiskas interpretācijas.

Abi pētnieki saprata, ka plāksnītē ir rodamas paralēles ar racionālo trigonometriju, kuru Vildbergers aplūkojis pirms desmit gadiem uzrakstītajā grāmatā “Divine Proportions: Rational Trigonometry to Universial Geometry.”

Pētījumā abi zinātnieki secina, ka P322 ir pasaulē pirmā trigonometriskā tabula. Viņi noraida līdzšinējo interpretāciju, ka tās bija mācību līdzeklis, kas palīdzēja skolotājam pārbaudīt skolnieku veiktos kvadrātvienādojumu problēmu risinājumus.

Mūsu pētījums liecina, ka P322 apraksta taisnleņķa trīsstūri, izmantojot trigonometriju, kuras pamatā bija attiecības, nevis leņķi. Tas ir apbrīnojams matemātisks darbs, kuru radījis ģēnijs, sacīja Mensfīlds.

Plāksnes augšējā rinda salīdzinoši vienādās attiecībās izveido gandrīz vienādsānu trīsstūri. Virzoties uz leju, trīsstūru slīpums samazinās, radot šaurākus trīsstūrus, sacīja Vildbergers.

Tā ir ne tikai vecākā, bet arī precīzākā trigonometriskā tabula, teikts pētījumā.

"Šis ir atšķirīgs veids, kā skatīties uz trigonometriju, komentējot pētījuma sensacionālos rezultātus," - sacīja Mensfīlds. "Mēs dodam priekšroku sīnusiem un kosīnusiem, bet reizēm, lai saprastu, ka iespējamas arī citas pieejas, ir nepieciešams iziet ārpus savas kultūras redzesleņķa," - viņš turpināja.

Pētnieki pieņem, ka plāksnīte izmatota, lai izmērītu laukus, veiktu piļu, tempļu un zikurātu celtniecības aprēķinus.

Vai P322 liks pārrakstīt matemātikas vēsturi?

Līdz šim par trigonometrijas tēvu uzskatīja sengrieķu zinātnieku Hiparhu, kurš dzīvoja ap 120.g.pmē. Viņš uz apļa uzzīmēja slaveno “hordas tabulu,” ar kuras palīdzību varēja veikt trigonometriskus aprēķinus.

Taču, ja austrāliešu matemātiķu izdarītais P322 plāksnītes atšifrējums ir pareizs, tad šo godu Hiparham atņem Hamurapa laikā dzīvojošie babiloniešu matemātiķi. Nav šaubu, ka babiloniešu matemātiķiem un astronomiem izdevās veikt daudzus svarīgus atklājumus, kas apsteidza eiropiešu zinātni par tūkstošiem gadu. Piemēram, senie babilonieši, izmantojot ģeometrisku metodi, spēja aprēķināt Jupitera kustību (Sk.: “Seno babiloniešu astronomi 1400 gadus pirms eiropiešiem Jupitera kustības aprēķināšanai izmantoja ģeometrisku metodi”, aliens.lv, 14.03.2016.)

Lai arī Dr.Mensfīlds un Vilderbergs ir cieši pārliecināti, ka viņu pētījums pavirza trigonometrijas pirmsākumus par vairāk nekā 1000 gadiem senākā pagātnē, pārējie matemātikas vēsturnieki nemaz nesteidzas viņiem piekrist. Tiek pausti pat diezgan skeptiski vērtējumi.

Ja neskaita kolonnu virsrakstus, uz plāksnes ir atrodami tikai skaitļi, un tas dod vietu daudzām spekulācijām, “National Geographic” rakstītajā e-pastā paziņo Sv.Laurensa universitātes matemātikas profesors Dankans Melvils (Duncan Mellviles), kurš specializējies senās Mezopotāmijas matemātikā. Šos skaitļus matemātiski var iegūt dažādos ceļos un tādā veidā tieši uz plāksnes pierakstītie rezultāti neko daudz nepastāsta par šo rezultātu iegūšanas procesu, viņš turpina.

Melvils paziņoja, ka, lai akceptētu pētījuma rezultātus, savā ziņā no jauna būtu jādefinē trigonometrija, taču Vilderbergs, kurš savā grāmatā pierāda jaunu ģeometriju, apgalvo, ka ir būtiski pieņemt jaunu domāšanu, lai saprastu, cik sen babilonieši veikuši trigonometriskus aprēķinus.

Arī Teksasas A&M universitātes matemātikas profesors Donalds Alens (Donald Allen) ir skeptisks par to, ka pētījums nepārprotami pierāda, ka Plimptona plāksnīte izmantota trigonometriskiem aprēķiniem.

Alens norādīja, ka plāksnīte ir veca un precīza, tomēr tās kā trigonometriskas tabulas interpretācija ir tikai minējums, jo ievērojama tās daļa kopā ar piemēriem ir nolauzta un nekad nav atrasta.

Alens atzina, ka vērtīgākais atradums, kas veikts, izpētot plāksni, ir Pitagora trijnieki, kas, iespējams, liecina, ka senie babilonieši jau tūkstoš gadus pirms senajiem grieķiem zināja Pitagora teorēmu. Ja Jaundienvidvelsas universitātes zinātnieku pētījums nespēj parādīt, kādā veidā plāksne tika izmantota, lai atrastu aptuvenus risinājumus vienādojumiem, tostarp trīsstūriem, tad vienīgi spekulatīvs vēsturisks konteksts var palīdzēt precīzi noteikt, kā tabula tika pielietota ikdienas dzīvē, sacīja Vildbergers.

Ja arī babilonieši izgudroja trigonometriju, sacīja Alens un Melvils, tad pēc tūkstoš gadiem senie grieķi to ievērojami uzlaboja un padarīja precīzāku. Alens piebilda, ka senajā pasaulē matemātiķi ļoti daudz viens no otra aizguva, kas arī apgrūtina izsekot pēdām, kas ved līdz matemātisko ideju pirmavotam.

Es domāju, ka interpretācija ir ticama, bet mums nav daudz izmantošanas konteksta veidu no daudzām babiloniešu plāksnītēm, kas apliecinātu šādu mērķi, tā kā tas drīzāk ir spekulatīvs pieņēmums, sacīja pētījumā neiesaistītais Aleksandrs Džonss (Alexander R.Jones) no Ņujorkas universitātes.

Mezopotāmijas speciāliste no Londonas universitātes Eleanora Robsone (Eleanor Robson), kura aizstāv uzskatu, ka plāksnīte bija skolotāja rokasgrāmata, nav pārliecināta par austrāliešu matemātiķu pētījuma sensacionālajiem rezultātiem. Kaut gan viņa no intervijām izvairījusies, savā tvitera kontā Robsone norādījusi, ka plāksnes trigonometriskajā interpretācijā ignorēts vēsturiskais konteksts.

Jaunā P322 plāksnītes interpretācija tiešām ir interesanta, taču vienlaikus ir arī skaidrs, ka nepieciešams neatkarīgs, citu matemātiķu veikts pētījums, kas vai nu apstiprinātu vai atspēkotu Jaundienvidvelsas universitātes pētnieku apgalvojumus. Zinātnē, lai kādu teoriju atzītu par patiesu un pierādītu, nereti ar vienu pētījumu ir par maz.

Avoti:
popular-archaeology.com
sciencedirect.com
livescience.com
theguardian.com
nytimes.com
sciencemag.org
news.nationalgeographic.com
apollo.tvnet.lv
lv.wikipedia.org/wiki/Pitagora_teor%C4%93ma
lv.wikipedia.org/wiki/Pitagora_trijnieks
en.wikipedia.org/wiki/Edgar_James_Banks
Cerams, V., K. 1982. Dievi, Kapenes un Zinātnieki. Rīgā: Zinātne
Rubenis, Andris. 1998. Senās Grieķijas kultūra. Rīgā: Zvaigzne ABC 

© Aliens.lv. Pārpublicēt atļauts tikai ievērojot ŠOS NOTEIKUMUS.